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Beschreibung einiger unserer aktuellen Forschungsprojekte

GEOMETRISCHE EVOLUTIONSGLEICHUNGEN

Geometrische Evolutionsgleichungen bilden ein sehr junges und wichtiges Forschungsfeld innerhalb der Differentialgeometrie. Sie bieten ein überaus wertvolles analytisches Werkzeug, um Existenzen und Eigenschaften geometrischer Objekte zu studieren. Zu fast jeder geometrischen Struktur wurde in der Vergangenheit eine entsprechende geometrische Evolutionsgleichung entworfen. Einige von diesen Flüssen sind prominenter als andere. Zu den bedeutendsten und am besten untersuchten Vertretern gehören:  Ricci-Fluss (Riemannsche Metriken), mittlerer Krümmungsfluss (Immersionen),  harmonischer Wärmefluss (Abbildungen) und der Yang-Mills-Fluss (Zusammenhänge). Von diesen Flüssen gibt es wiederum interessante Varianten und Spezialfälle, so zum Beispiel der Kähler-Ricci-Fluss, der Sasaki-Ricci-Fluss und der Lagrangesche mittlere Krümmungsfluss. Mit Arbeiten zum Ricci-Fluss wurde 2002 durch Grigori Perelman die Poincaré-Vermutung bewiesen.


Mittlerer Krümmungsfluss in hohen Kodimensionen

Der mittlere Krümmungsfluss ist der negative Gradientenfluss zum Volumenfunktional auf der Menge aller Immersionen in eine gegebene Riemannsche Mannigfaltigkeit. Damit lässt sich der mittlere Krümmungsfluss auch als Wärmeleitungsgleichung auf der Menge aller Immersionen auffassen. Diese geometrische Evolutionsgleichung liefert wichtige Erkenntnisse über die möglichen Geometrien von Untermannigfaltigkeiten in Riemannschen Mannigfaltigkeiten. Innerhalb dieser allgemeinen Theorie gibt es wiederum zahlreiche Spezialfälle, welchen eine besondere Bedeutung zukommt. Am Institut werden besonders Projekte in höheren Kodimensionen untersucht.

  • Solitonen in hohen Kodimensionen

    Solitonen entstehen, wenn sich unter dem mittleren Krümmungsfluss Singularitäten bilden oder wenn  Langzeitexistenz der Lösung vorliegt, aber die Immersionen nicht unbedingt gegen eine minimale Untermannigfaltigkeit konvergieren. Die wichtigsten Vertreter sind: Selbstähnliche kontrahierende und expandierende Lösungen sowie translatierende Solitonen. 

Lagrangescher mittlerer Krümmungsfluss

Lagrange-Untermannigfaltigkeiten sind die prominentesten Vertreter von Untermannigfaltigkeiten in der symplektischen Geometrie. Eine Untermannigfaltigkeit L in einer symplektischen Mannigfaltigkeit (M,ω) nennt man Lagrange, wenn die symplektische Form ω auf L verschwindet und die Dimension von L genau halb so groß ist wie die von M. Betrachtet man den mittleren Krümmungsfluss in Kähler-Mannigfaltigkeiten M, so wird die Lagrange-Bedingung nur erhalten, falls M Kähler-Einstein ist. Insbesondere ist dies in Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten der Fall. Einige der folgenden Projekte werden im Rahmen des Schwerpunktprogramms SPP 2026, Geometry at Infinity, von der DFG gefördert.

  • Vermutungen von Strominger-Yau-Zaslow und Thomas-Yau

    Nach einer Arbeit von Strominger, Yau und Zaslow steht der Modulraum minimaler Lagrange-Tori in Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten M in direktem Bezug zur Spiegel-Mannigfaltigkeit von M. Aus diesem Grund ist der mittlere Krümmungsfluss ein wichtiges Werkzeug beim Verständnis dieser Verbindung. Wichtige Fragen in diesem Zusammenhang sind die Existenz minimaler Lagrange-Tori und die Kompaktheit des Modulraums. Insbesondere hierzu sowie im Zusammenhang mit der Thomas-Yau-Vermutung müssen auftretende Singularitäten beim mittleren Krümmungsfluss von Lagrange-Untermannigfaltigkeiten noch besser verstanden werden. 

  • Equivarianter Lagrangescher mittlerer Krümmungsfluss

    Ist z=(u,v) eine reguläre Kurve in R² und bezeichnet S die Standardeinbettung der (m-1)-dimensionalen Einheitssphäre, so wird F(s,x):=(u(s)S(x),v(s)S(x)) zu einer m-dimensionalen Lagrange-Immersion. Diese ist invariant unter der Isometriegruppe O(m), Lagrange-Untermannigfaltigkeiten diesen Typs nennt man equivariant. Die Whitney-Sphäre (siehe Bild auf der linken Seite) ist das bekannteste Beispiel einer equivarianten Lagrange-Untermannigfaltigkeit. Der mittlere Krümmungsfluss für equivariante Untermannigfaltigkeiten lässt sich komplett durch die Evolution der erzeugenden Profilkurven z beschreiben. Singularitäten für diesen Spezialfall sind inzwischen sehr gut verstanden, dennoch bleiben wichtige offene Fragen. Zum Beispiel ist die Natur der Singularität in den Fällen, wo sie im Ursprung entsteht, noch nicht ganz geklärt.

  • Typ-I und Typ-II-Singularitäten

    Beim mittleren Krümmungsfluss unterscheidet man generell zwischen zwei möglichen Typen von Singularitäten, genannt Typ-I bzw. Typ-II. Die Singularitäten des ersten Typs erzeugen selbstähnlich schrumpfende Lösungen und treten beim Lagrangeschen mittleren Krümmungsfluss nicht auf, wenn die Maslov-Klasse trivial ist. Eine Singularität vom Typ-II erzeugt andererseits eine sogenannte eternal solution. Zu dieser Klasse gehören insbesondere die translatierenden Lösungen wie der grim reaper. Die Modulräume der Singularitäten vom Typ-I bzw. Typ-II sind nur sehr unzureichend verstanden. Man weiß zum Beispiel nicht, unter welchen Bedingungen Singularitäten vom Typ-II automatisch zu translatierenden Lösungen führen (Anm.: Für konvexe Hyperflächen gibt es hierzu ein Resultat von Richard Hamilton).

Mittlerer Krümmungsfluss von Graphen

Der mittlere Krümmungsfluss lässt sich für Graphen einer Abbildung f anwenden, da sich der Fluss bis auf Diffeomorphismen eindeutig durch die Evolution der den Graphen erzeugenden Abbildung f beschreiben lässt. In diesem Zusammenhang offenbart die Evolutionsgleichung erstaunliche Ähnlichkeiten mit dem harmonischen Wärmefluss. Die folgenden Spezialfälle sind von besonderem Interesse

  • Abbildungen zwischen Riemannschen Mannigfaltigkeiten

    Eine Abbildung f zwischen Riemannschen Mannigfaltigkeiten (M,g), (N,h) heißt minimal, falls der Graph Γ von f bezüglich der Produktmetrik auf M×N eine minimale Untermannigfaltigkeit ist. Mit dem Fluss kann daher die Existenz von minimalen Abbildungen zwischen Riemannschen Mannigfaltigkeiten besser verstanden werden. Unter geeigneten Annahmen an die Riemannschen Krümmungen von M und N wurden in jüngster Zeit wesentliche Ergebnisse sowohl für die Klasse der Kontraktionen als auch für die Klasse der flächenkontrahierenden Abbildungen erzielt. 

  • Deformation von Symplektomorphismen

    Ist f ein Symplektomorphismus zwischen Kähler-Einstein-Mannigfaltigkeiten derselben Skalarkrümmung, so erhält der mittlere Krümmungsfluss diese Eigenschaft. Dies liefert einen weiteren Spezialfall des Lagrangeschen mittleren Krümmungsflusses.  Für Symplektomorphismen zwischen Riemannschen Flächen wurde der Fluss bereits sehr gut untersucht, in höheren Dimensionen gibt es jedoch sehr viele offene Fragen. Zum Beispiel möchte man gerne klären, unter welchen Bedingungen sich Symplektomorphismen in Biholomorphismen deformieren lassen.

  • Graphen im Kotangentialbündel

    Eine 1-Form θ auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit M erzeugt einen Graphen im Kotangentialbündel von M und dieser Graph wird genau dann Lagrange, wenn θ geschlossen ist. Weil das Kotangentialbündel im Allgemeinen keine Kähler-Einstein-Mannigfaltigkeit ist, wird der mittlere Krümmungsfluss daher in diesen Fällen die Lagrange-Bedingung nicht erhalten. Durch geeignete Modifikationen der Flussgleichung ist es aber gelungen, einen Fluss zu erzeugen, welcher die Geschlossenheit der Formen θ nicht zerstört. Bisher existieren für diesen modifizierten mittleren Krümmungsfluss sehr gute Ergebnisse für Kotangentialbündel von Riemannschen Mannigfaltigkeiten positiver Krümmung. Interessant wird dies auch im Kontext einer Variante der Arnol'd-Vermutung.

Sasaki-Ricci-Fluss

Der Sasaki-Ricci-Fluss ist die Sasaki-Variante des Ricci-Flusses. Da der Ricci-Fluss die Sasaki-Bedingung einer Riemannschen Metrik auf einer Kontaktmannigfaltigkeit selbst nicht erhält, benötigt man eine Variante hiervon, welche die Kontaktmetrik nur auf der Kontaktdistribution ändert. Genau dies leistet der Sasaki-Ricci-Fluss.

TWISTORTHEORIE

Die Twistor-Theorie versucht im Wesentlichen, die grundlegenden mathematischen Eigenschaften der Relativitätstheorie und der Quantenmechanik zusammenzuführen. Die Grundlagen der Twistor-Theorie wurden vom britischen Mathematiker und Physiker Roger Penrose entwickelt. Mehrere wichtige geometrische Strukturen können über ihren Twistorraum konstruiert und untersucht werden, das heißt als Parameterraum von (reellen) rationalen Kurven in einer komplexen Mannigfaltigkeit. Natürlich auftretende Beispiele dieser Geometrien, welche Hyperkähler-Metriken enthalten, sind in mehreren Zweigen der Mathematik und der mathematischen Physik von großer Bedeutung: zum Beispiel Köcher-Varietäten in der Darstellungstheorie, Hitchins Modulräume in der algebraischen Geometrie und der Theorie integrabler Systeme, eichtheoretische Modulräume von Monopolen und Instantonen in der mathematischen Physik.


Deligne-Hitchin-Modulraum und Higgsbündel

Der Modulraum der Lösungen der Hitchin-Gleichungen ist eine hyper-Kähler Mannigfaltigkeit, deren komplexe Strukturen den Modulraum  der Higgsbündel beziehungsweise der flachen Zusammenhänge liefern. Der zugehörige  Twistorraum kann nach Deligne als Modulraum der λ-Zusammenhänge aufgefasst werden, wobei Twistorlinien den assoziierten Familien von Lösungen der Hitchin-Gleichungen entsprechen. Dieser Modulraum kann komplex analytisch konstruiert werden, und beinhaltet neben den Twistorlinien weitere interessante Klassen von holomorphen Kurven, welche typischerweise Lösungen spezieller integrabeler Differentialgleichungen entsprechen. Dieses Projekt wird von der DFG im Rahmen des Schwerpunktprogramms SPP 2026, Geometry at Infinity, gefördert.

  • Geometrische Strukturen des Deligne-Hitchin-Modulraums

    In diesem Projekt beschäftigen wir uns mit Konstruktionen und Interpretationen von hyperholomorphen Bündeln und Zusammenhängen, Automorphismengruppen, sowie Branen in der Spiegelsymmetrie.

  • Neue Klassen reell holomorpher Kurven im Twistorraum

    Klassen reell holomorpher Kurven im Twistorraum liefern etwa singuläre Lösungen der Hitchin-Gleichungen oder Minimalflächen in Anti-deSitter Räumen. Geometrische Größen wie die renormalisierte  Energie oder der Flächeninhalt können durch Auswertung von hyperholomorphen Daten bestimmt werden. 

GLOBALE FLÄCHENTHEORIE

Die globale Flächentheorie untersucht die optimale Realisation von Flächen in (drei-dimensionalen) Raumformen unter bestimmten Nebenbedingungen. Besonders interessant sind hierbei Minimal- und CMC-Flächen sowie Willmoreflächen. Das Verhalten der Flächen hängt dabei fundamental von der Krümmung des umgebenden Raumes ab. Die Existenz von speziellen Flächen in positiv gekrümmten Räumen nachzuweisen, ist besonders herausfordernd. Bei negativer Krümmung des umgebenden Raumes sind Minimalflächen beziehungsweise harmonische Abbildungen in der Regel in ihrer Homotopieklasse eindeutig. Dies setzt die Abbildungen mit Darstellungen der Fundamentalgruppe der Fläche in eine direkte Beziehung, welche in den letzten Jahren in zahlreichen wichtigen Arbeiten in unterschiedlichsten Gebieten wie Zahlentheorie, geometrische Gruppentheorie, Stringtheorie, sowie algebraischer und Differentialgeometrie intensiv untersucht wurde. 


Willmore-Flächen

Willmore-Flächen sind Immersionen in den (3-dimensionalen) Raum, welche kritische Punkte der Willmore-Energie sind. Physikalisch entspricht dies der Biegeenergie der Oberfläche und geometrisch misst die Willmore-Energie wie rund eine Fläche ist. Willmore-Flächen sind natürliche Verallgemeinerungen von Minimalflächen und Flächen mit konstanter mittlerer Krümmung in Raumformen. Das Projekt wird im Rahmen des Schwerpunktprogramms SPP 2026, Geometry at Infinity, von der DFG gefördert.

  • Existenz und Verhalten von Minimierern

    Wir interessieren uns sowohl für die Konstruktion von geschlossenen (das heißt kompakt und ohne Rand) Beispielen, als auch für die Bestimmung der Energieminimierer unter topologischen und konformen Nebenbedingungen. Obwohl die Existenz einiger solcher Flächen bekannt ist, kann derzeit nicht einmal der Flächeninhalt von Willmore-Flächen mit Geschlecht größer als 1 bestimmt werden.  In diesem Projekt verbinden wir Methoden der geometrischen Analysis mit denen der Theorie integrabler Systeme, um die Existenz und das Verhalten von Minimieren bei vorgegebener konformer Struktur oder vorgegebenem Geschlecht zu analysieren. 

Monodromie

Lösungen von speziellen gewöhnlichen Differentialgleichungen spielen seit Jahrhunderten eine wichtige Rolle in der Mathematik und Physik, wie zum Beispiel hypergeometrische Funktionen, Gamma-Funktionen, Polylogarithmen, elliptische Funktionen und Integrale. Ein weiteres Beispiel ist durch die Uniformisierung Riemannscher Flächen mittels spezieller projektiver Strukturen mit reeller Monodromie gegeben. Uniformisierungen geometrischer Strukturen, vor allem auch im Zusammenhang mit Darstellungen von Flächengruppen, sind immer noch ein aktuelles und wichtiges Forschungsgebiet in der Mathematik. Wir beschäftigen uns mit einigen klassischen Monodromieproblemen auf Riemannschen Flächen.

  • Holomorphe Zusammenhänge mit spezieller Monodromie

    Da sich im Allgemeinen Monodromien nicht konkret bestimmen lassen, jedoch die Eigenschaften von solchen Monodromiedarstellungen das Verhalten vieler geometrischer und physikalischer Systeme bestimmt (Existenz von speziellen Riemannschen Metriken, Existenz von Minimalflächen, Degenerationen von Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten in der Spiegelsymmetrie, Wilson-Erwartungswerte in der AdS/CFT Korrespondenz, usw.), ist es wünschenswert, qualitative Aussagen über das Verhalten von Monodromien von holomorphen Differentialgleichungen machen zu können. In einer aktuellen Arbeit haben wir erstmals Beispiele von holomorphen Differentialgleichungen mit speziellem Monodromieverhalten (Fuchsschen Darstellungen für spezielle Vektorbündelstrukturen) konstruiert. Dies ermöglicht es uns, wichtige offene Fragen - wie etwa das Margulis-Problem über die Existenz von holomorphen Kurven in gewissen kompakten, komplexen 3-Mannigfaltigkeiten oder das Analogon zum Narasimhan-Seshadri-Theorem für reelle Darstellungen (Bers-Problem) -, zu bearbeiten.