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Klassische Differentialgeometrie

Klassische Differentialgeometrie

Allgemeine Informationen und ergänzendes Material zur Lehrveranstaltung

In der klassischen Differentialgeometrie beschäftigt man sich mit differenzierbaren Untermannigfaltigkeiten des euklidischen Raums in beliebigen Dimensionen und Kodimensionen. Dabei stehen elementare geometrische Fragestellungen im Vordergrund. Hierzu zählen die Abstandsmessung bezüglich der auf den Untermannigfaltigkeiten induzierten Metriken (erste Fundamentalform) sowie die Beschreibung von Krümmungen, sowohl relativ zum äußeren Raum (zweite Fundamentalform) als auch bezüglich der inneren Geometrie (Riemannsche Krümmung). Neben diesen lokalen Betrachtungen sind globale Eigenschaften von Untermannigfaltigkeiten und deren Verbindungen zwischen topologischen, geometrischen und analytischen Größen von besonderer Bedeutung. Die Lehrveranstaltung gibt einen ersten Einblick in die Differentialgeometrie und bietet die Möglichkeit für ein besseres Verständnis der Konzepte in der Lehrveranstaltung Riemannsche Geometrie.

Graph einer Funktion

Mittlerer Krümmungsvektor in lokalen Extrema

Hennebergfläche (Minimalfläche)

MODULBESCHREIBUNG

Regelmäßigkeit

Wintersemester, jährlich

Modulverantwortung

Institut für Differentialgeometrie

Lehrveranstaltungen (SWS)

Vorlesung „Klassische Differentialgeometrie“ (4 SWS)
Übung zu „Klassische Differentialgeometrie“ (2 SWS)

Leistungsnachweis zum Erwerb der LP

Die Studienleistung ist im Rahmen der Übung zu erbringen.
Prüfungsleistung: Klausur oder mündliche Prüfung (nach Wahl der Dozentin/des Dozenten).

Notenzusammensetzung

Note der Klausur oder der mündlichen Prüfung

Leistungspunkte (ECTS):

10

Präsenzstudium (h):

90

Selbststudium (h):

210

Inhalte:

  • Reguläre Untermannigfaltigkeiten beliebiger Kodimension

  • Tangentialräume

  • Erste Fundamentalform, Länge einer rektifizierbaren Kurve, induziertes Volumenmaß auf regulären Untermannigfaltigkeiten

  • Zweite Fundamentalform, Gauß-Abbildung, Weingarten-Abbildung, Hauptkrümmungen, mittlere Krümmung, Gauß-Krümmung

  • Kovariante Ableitungen auf dem Tangential- und Normalenbündel

  • Innere Krümmung

  • Gleichungen von Gauß (Theorema Egregium), Codazzi—Mainardi und Ricci

  • Gobale Kurven- und Flächentheorie: Isoperimetrische Ungleichung, Umlaufsatz, die Sätze von Fenchel und von Gauß-Bonnet

    Grundlegende Literatur:

    • do Carmo, Manfredo P., Differentialgeometrie von Kurven und Flächen, Vieweg Studium: Aufbaukurs Mathematik, 1983

    • Kühnel, Wolfgang: Differentialgeometrie: Kurven - Flächen - Mannigfaltigkeiten, Aufbaukurs Mathematik, Springer Spektrum

     

    Weitere Literatur wird bei Bedarf in der Veranstaltung bekannt gegeben. 

    Empfohlene Vorkenntnisse:

    • Analysis I+II

    • Lineare Algebra I

    Modulzugehörigkeit:

    • Grundlagen Bachelor Analysis

    • Grundlagen Bachelor Geometrie

    • Spezialisierung Bachelor Analysis

    • Spezialisierung Bachelor Geometrie