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Komplexe Differentialgeometrie

Komplexe Differentialgeometrie

Allgemeine Informationen und ergänzendes Material zur Lehrveranstaltung

Die komplexe Differentialgeometrie hat ihren Ursprung in der Theorie Riemannscher Flächen, also reell zwei-dimensionaler orientierter Mannigfaltigkeiten. Bei diesen existiert eine komplexe differenzierbare Struktur, sodass die Kartenwechsel lokale Biholomorphismen sind. Das Wechselspiel dieser komplexen oder allgemeiner von fast komplexen Strukturen mit der Topologie und geometrischen Objekten wie der Riemannschen Metrik oder dem Riemannschen Krümmungstensor führt zu sehr wichtigen geometrischen Theorien. Hierzu zählen fast Hermitesche Mannigfaltigkeiten, Kähler-Geometrie, Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten, Chern-Klassen, -Formen und -Zahlen.

MODULBESCHREIBUNG

Regelmäßigkeit

Sommersemester, jährlich

Modulverantwortung

Institut für Differentialgeometrie

Lehrveranstaltungen (SWS)

Vorlesung „Kompexe Differentialgeometrie“ (4 SWS)
Übung zu „Komplexe Differentialgeometrie“ (2 SWS)

Leistungsnachweis zum Erwerb der LP

Die Studienleistung ist im Rahmen der Übung zu erbringen.
Prüfungsleistung: Klausur oder mündliche Prüfung (nach Wahl der Dozentin/des Dozenten).

Notenzusammensetzung

Note der Klausur oder der mündlichen Prüfung

Leistungspunkte (ECTS):

10

Präsenzstudium (h):

90

Selbststudium (h):

210

Inhalte:

  • Komplexe Mannigfaltigkeiten

  • fast komplexe und komplexe Strukturen, Nijenhuis-Tensor und Integrabilität

  • Hermitesche Mannigfaltigkeiten, die Klassifikation von Gray und Hervella

  • Kähler-Mannigfaltigkeiten

  • Dolbeault-Operatoren, Zerlegungssatz von Dolbeault

  • Hodge-Zahlen, Serre-Dualität

  • Chern-Klassen, -Formen und -Zahlen

  • Satz von Gauß-Bonnet-Chern

  • Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten

 

Grundlegende Literatur:

  • Kobayashi S., Nomizu, K.: Foundations of differential geometry, Vol. II, Wiley Classics Library

 

Weitere Literatur wird bei Bedarf in der Veranstaltung bekannt gegeben.

Empfohlene Vorkenntnisse:

Modulzugehörigkeit:

  • Spezialisierung Bachelor Geometrie

  • Wahlmodul Bereich Reine Mathematik im Master Mathematik