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Mannigfaltigkeiten

Mannigfaltigkeiten

Allgemeine Informationen und ergänzendes Material zur Lehrveranstaltung

Zielsetzung dieser Lehrveranstaltung ist es, die wichtigsten Konzepte differenzierbarer Mannigfaltigkeiten zu vermitteln. Mannigfaltigkeiten gehören zu den zentralsten Objekten in der modernen Mathematik, sowohl in der Differentialgeometrie als auch in der Analysis, der Algebraischen Geometrie und der Theoretischen Physik. Der Begriff der Mannigfaltigkeit selbst geht dabei auf Bernhard Riemann zurück , welcher ihn in seinem Habilitationsvortrag Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen einführte.  Zusätzliche Informationen zu Bernahrd Riemann finden Sie auf den Seiten des Riemann Center for Geometry and Physics sowie im Beitrag Epochemachendes Wirken des Unimagazins 1/2 2008.

MODULBESCHREIBUNG

Regelmäßigkeit

Sommersemester, jährlich

Modulverantwortung

Institut für Differentialgeometrie

Lehrveranstaltungen (SWS)

Vorlesung „Mannigfaltigkeiten“ (4 SWS)
Übung zu „Mannigfaltigkeiten“ (2 SWS)

Leistungsnachweis zum Erwerb der LP

Die Studienleistung ist im Rahmen der Übung zu erbringen.
Prüfungsleistung: Klausur oder mündliche Prüfung (nach Wahl der Dozentin/des Dozenten).

Notenzusammensetzung

Note der Klausur oder der mündlichen Prüfung

Leistungspunkte (ECTS):

10

Präsenzstudium (h):

90

Selbststudium (h):

210

Inhalte:

  • Topologische und differenzierbare Mannigfaltigkeiten

  • Tangential- und Kotangentialräume und - bündel

  • Differentialformen, Vektorfelder und Flüsse

  • Lie-Ableitungen, Lie-Gruppen und -Algebren

  • Integration auf Mannigfaltigkeiten, die Sätze von Frobenius Stokes

  • Vektorbündel und Tensorfelder

  • Zusammenhänge auf Vektorbündeln, Paralleltransport, kovariante Ableitung und Holonomie

 

Grundlegende Literatur:

  • Boothby, William M., An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry, Academic Press, Inc., Orlando, FL, 1986

  • Milnor: Topology from the Differentiable Viewpoint, Princeton University Press

  • Lee, John M., Introduction to smooth manifolds, Graduate Texts in Mathematics 218, Springer-Verlag, New York

  • Warner, Frank W., Foundations of differentiable manifolds and Lie groups, Graduate Texts in Mathematics 94, Springer-Verlag New York-Berlin

 

Weitere Literatur wird bei Bedarf in der Veranstaltung bekannt gegeben.

 

Empfohlene Vorkenntnisse:

  • Analysis III

  • Lineare Algebra I+II

Modulzugehörigkeit:

  • Grundlagen Bachelor Analysis

  • Grundlagen Bachelor Geometrie

  • Spezialisierung Bachelor Analysis

  • Spezialisierung Bachelor Geometrie