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Riemannsche Geometrie

Riemannsche Geometrie

Allgemeine Informationen und ergänzendes Material zur Lehrveranstaltung

In der Riemannschen Geometrie untersucht man die Eigenschaften von Riemannschen Metriken auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten. Dabei versteht man unter einer Riemannschen Metrik ein in glatter Weise vom Fußpunkt der Mannigfaltigkeit abhängendes Skalarprodukt auf den Tangentialräumen. Diese Metriken erlauben die Definition elementarer geometrischer Größen wie Längen, Winkel, Flächen- und Volumenmaße. Zudem existiert auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten ein natürlicher Ableitungsbegriff, die kovariante Ableitung. Im Gegensatz zur euklidischen Geometrie gilt in der Riemannschen Geometrie nicht mehr die Symmetrie bei der Reihenfolge mehrfacher Ableitungen. Vielmehr definiert der Kommutator eine wichtige geometrische Größe, den Riemannschen Krümmungstensor. Die Riemannsche Geometrie gehört zu den wichtigsten Theorien innerhalb der Differentialgeometrie und sie war ein Wegbereiter für die Entwicklung der speziellen und allgemeinen Relativitätstheorie..

Sphäre

Torus

Hälfte einer Kleinschen Flasche

MODULBESCHREIBUNG

Regelmäßigkeit

Wintersemester, jährlich

Modulverantwortung

Institut für Differentialgeometrie

Lehrveranstaltungen (SWS)

Vorlesung „Riemannsche Geometrie“ (4 SWS)
Übung zu „Riemannsche Geometrie“ (2 SWS)

Leistungsnachweis zum Erwerb der LP

Die Studienleistung ist im Rahmen der Übung zu erbringen.
Prüfungsleistung: Klausur oder mündliche Prüfung (nach Wahl der Dozentin/des Dozenten).

Notenzusammensetzung

Note der Klausur oder der mündlichen Prüfung

Leistungspunkte (ECTS):

10

Präsenzstudium (h):

90

Selbststudium (h):

210

Inhalte:

  • Riemannsche Metriken

  • Parallelverschiebung und Geodäten

  • Exponentialabbildung, Injektivitätsradius und Schnittort

  • Geodätische Vollständigkeit, der Satz von Hopf-Rinow

  • Zusammenhänge auf Vektorbündeln

  • Krümmung eines Zusammenhangs

  • Der Riemannsche Krümmungstensor des Levi-Civita-Zusammenhangs, erste und zweite Bianchi-Gleichung

  • Erste und zweite Variation von Länge und Energie einer Kurve

  • konjugierte Punkte, Jacobi-Felder

  • symmetrische und lokal symmetrische Räume

  • Harmonische Differentialformen

  • Zerlegungssatz von Hodge

Grundlegende Literatur:

  • Jost, Jürgen: Riemannian Geometry and Geometric Analysis, Springer Verlag

  • Gallot, Hulin, Lafontaine: Riemannian Geometry, Universitext, Springer Verlag

  • Spivak, M.: A comprehensive introduction to differential geometry I-V, Publish or Perish

 

Weitere Literatur wird bei Bedarf in der Veranstaltung bekannt gegeben.

Empfohlene Vorkenntnisse:

Modulzugehörigkeit:

  • Spezialisierung Bachelor Geometrie

  • Wahlmodul Bereich Reine Mathematik im Master Mathematik