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Forschung

Forschungsinteressen

In der Differentialgeometrie beschäftigt man sich mit geometrischen Eigenschaften von meist glatten Objekten - Mannigfaltigkeiten. Mannigfaltigkeiten sind Verallgemeinerungen von Flächen wie zum Beispiel der Erdoberfläche, eines Fahrradschlauches oder einer Seifenhaut. Die Differentialgeometrie besitzt viele Anwendungen, etwa in der Computergraphik oder in der theoretischen Physik und insbesondere in der allgemeinen Relativitätstheorie und der Kosmologie, in welcher das Universum -- die Raum-Zeit --, als vier-dimensionale Mannigfaltigkeiten mit zusätzlicher geometrisch-physikalischer Struktur (Lorentz-Metrik) modelliert wird.

Am Institut sind verschiedene Forschungszweige der Differentialgeometrie vertreten. Hierzu zählen insbesondere die folgenden Themen:

  • Geometrische Evolutionsgleichungen
  • Mannigfaltigkeiten mit speziellen geometrischen Eigenschaften
  • Symplektische Geometrie
  • Eichfeldtheorie
  • Globale Flächentheorie.

Einige der weiter unten beschriebenen Forschungsthemen werden am Institut durch Drittmittelprojekte gefördert. Es bestehen ausgezeichnete wissenschaftliche Kontakte zu europäischen, amerikanischen und asiatischen Forschungseinrichtungen und Universitäten. Vorlesungen und Seminare zu Themen der Differentialgeometrie und der Riemannschen Geometrie werden regelmäßig angeboten. Die Ausbildung in der Differentialgeometrie bildet einen Kernbestandteil innerhalb der reinen Mathematik. Neben den Grundvorlesungen (Mannigfaltigkeiten, Riemannsche Geometrie, Klassische Differentialgeometrie, Riemannsche Flächen und komplexe Differentialgeometrie) werden in geeigneten Abständen, und bei ausreichender Nachfrage auch azyklisch, Spezialvorlesungen angeboten. Themen für Abschlussarbeiten können für alle mathematischen Studiengänge angeboten werden. Insbesondere eignen sich Themen der klassischen Differentialgeometrie, bei der einfache Eigenschaften von Kurven und Flächen im Anschauungsraum im Vordergrund stehen, für Examensarbeiten von Studierenden der Lehramtsstudiengänge.

Die Differentialgeometrie gliedert sich grob in die klassische/elementare und in die moderne Differentialgeometrie. Die elementare Differentialgeometrie beschäftigt sich mit Kurven und Flächen im dreidimensionalen Anschauungsraum und ihren Krümmungseigenschaften. Zu den klassischen geometrischen Objekten gehören beispielsweise die Minimalflächen, die in der Natur in Form von Seifenhäuten entstehen. Ein weiteres schönes Beispiel für eine solche Minimalfläche ist das Dach des Olympiastadions in München.

Die moderne bzw. abstrakte Differentialgeometrie entsteht aus der intrinsischen Beschreibung geometrischer Objekte, d.h. aus der Beschreibung ohne Rückgriff auf einen umgebenden Raum. Der zentrale Begriff ist hierbei die differenzierbare Mannigfaltigkeit: eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit ist ein geometrisches Objekt (genauer: ein topologischer Raum), der sich lokal durch den n-dimensionalen reellen Raum parametrisieren lässt. Das klassische Beispiel, das auch die Terminologie liefert, ist die Erdoberfläche: In kleinen Ausschnitten lässt sie sich durch Karten beschreiben, d.h. kleine Teile sehen aus wie die Ebene. Um aber ein Gesamtbild der Erde zu erhalten, müssen noch die Kartenwechsel beschrieben sein: welche Teile zweier Karten entsprechen sich? Das Attribut differenzierbar bezieht sich nun darauf, dass diese Kartenwechsel differenzierbare Abbildungen sein sollen. Das ermöglicht es, von differenzierbaren Funktionen auf der Mannigfaltigkeit zu sprechen, und die Analysis wird gewissermaßen zur lokalen Theorie, deren globale Entsprechung die Differentialgeometrie ist. Auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit gibt es keine vordefinierte Längenmessung. Ist sie als zusätzliche Struktur gegeben, spricht man von Riemannschen Mannigfaltigkeiten. Sie sind Gegenstand der Riemannschen Geometrie, die auch die Begriffe von Krümmung, kovarianter Ableitung und Parallelverschiebung untersucht.

Anwendung findet die Differentialgeometrie in der Allgemeinen Relativitätstheorie. Sie ermöglicht die Voraussage von Phänomenen, die durch das Experiment bestätigt werden (Lichtablenkung, Periheldrehung des Merkur). Koordinatentransformationen entsprechen in der Relativitätstheorie einem Wechsel von Bezugssystemen, aus denen heraus ein Phänomen beobachtet wird. Dies entspricht unterschiedlichen Sichtweisen auf ein Ereignis. Die klassische Differentialgeometrie wurde auch schon früher in der Geodäsie und Kartographie angewendet. Ein Beispiel ist hier unter anderem die Kartenprojektionslehre, aus der die Begriffe ,,geodätische Linie“ und ,,Gaußsche Krümmung“ stammen.

Geometrische Evolutionsgleichungen

Eine Vielzahl der Fragestellungen in der modernen Differentialgeometrie lassen sich sowohl geometrisch als auch analytisch, so zum Beispiel durch ein System partieller Differentialgleichungen, beschreiben. Dies eröffnet die Möglichkeit, die Methoden der Analysis auf geometrische Fragestellungen anzuwenden. Versucht man beispielsweise in der Klasse aller Flächen im Anschauungsraum diejenige zu finden, die bei gegebener Randkurve den Flächeninhalt minimiert, so führt dies auf die Minimalflächengleichung (daher auch der Name). Aus differentialgeometrischer Sicht ist diese Gleichung durch das Verschwinden der mittleren Krümmung der Fläche gegeben. Analytisch betrachtet, ist dies ein quasilineares elliptisches System zweiter Ordnung und hierauf lässt sich dann die Theorie der elliptischen Differentialoperatoren anwenden. Ein alternativer Zugang ist die parabolische Entsprechung dieser Gleichung, d.h. in diesem konkreten Fall verformt man eine gegebene Fläche entlang ihres mittleren Krümmungsvektorfeldes bis sie schließlich im Idealfall minimal und damit stationär wird, d.h. nicht mehr weiter fließt. Diese Gleichung, auch mittlerer Krümmungsfluss genannt, kann als Wärmeleitungsgleichung auf dem Raum aller Einbettungen betrachtet werden. Zudem bildet ist er der negative Gradientenfluss des Volumenfunktionals, d.h. eine Fläche die so fließt, versucht auf schnellst mögliche Weise ihr Volumen zu minimieren. Der mittlere Krümmungsfluss ist nur eins von vielen Beispielen für geometrische Evolutionsgleichungen. In jüngster Zeit hat sein enger Verwandter, der Ricci-Fluss, besonders viel Aufmerksamkeit auf sich gezogen, da es hiermit erst kürzlich gelang, die seit etwa 100 Jahren offene Poincaré-Vermutung über einfach-zusammenhängende 3-Mannigfaltigkeiten zu beweisen. Beim Ricci-Fluss lässt man eine Riemannsche Metrik auf einer Mannigfaltigkeit entlang ihrer Ricci-Krümmung fließen, die Gleichung kann als Wärmeleitungsgleichung auf dem Raum der Riemannschen Metriken aufgefasst werden. Geometrische Evolutionsgleichungen bilden einen sehr jungen Forschungszweig innerhalb der Mathematik und sind eins der Hauptforschungsgebiete am Institut. Neben den bereits aufgeführten Evolutionsgleichungen beschäftigt sich das Institut für Differentialgeometrie auch mit Problemen aus dem Bereich der Kontaktgeometrie, zum Beispiel mit Yamabe-Problemen auf dem Raum der adaptierten Kontaktmetriken einer Kontaktmannigfaltigkeit. Auch diese Fragestellungen lassen sich sehr gut mittels geometrischer Flussgleichungen untersuchen. Da bei den meisten geometrischen Evolutionsgleichungen schon unter relativ einfachen Anfangsbedingungen Singularitäten auftreten, ist auch das Studium der dabei beobachtbaren Grenzfälle relevant.

Mannigfaltigkeiten mit speziellen geometrischen Eigenschaften

In der Differentialgeometrie versucht man häufig die Existenz oder Nichtexistenz spezieller geometrischer Strukturen auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten nachzuweisen. Ein Beispiel bilden die Untermannigfaltigkeiten mit vorgeschriebener Krümmung. Dabei kann der Krümmungsbegriff durchaus sehr unterschiedlich sein. Beispielsweise verschwindet bei Minimalflächen die mittlere Krümmung, eine extrinsische Größe, die beschreibt, wie die Fläche im umgebenden Raum gekrümmt ist. Diese Krümmung unterscheidet sich ganz wesentlich von der Gauß-Krümmung, welche nach dem ,,Theorema Egregium“ von Gauß bereits eine innere geometrische Größe ist. Die Gauß-Krümmung ist identisch mit der Skalarkrümmung der induzierten Riemannschen Metrik auf einer differenzierbaren Fläche.Ein weiterer wichtiger innerer Krümmungsbegriff ist die Ricci-Krümmung. Die Existenz von Riemannschen und Lorentzschen Metriken mit verschwindender Ricci-Krümmung ist besonders wichtig in der Relativitätstheorie, da sie Lösungen der Einsteinschen Feldgleichungen bilden. Daher ist es von großem Interesse, die Mannigfaltigkeiten zu finden und zu studieren, die solche Einstein-Metriken zulassen. Im Gegensatz zu den Untermannigfaltigkeiten, die in einer speziellen Weise im umgebenden Raum gekrümmt sind, bildet die Frage nach der Existenz einer Metrik mit speziellen Krümmungseigenschaften ein intrinsisches Problem, es ist also völlig losgelöst von der Existenz eines geeigneten umgebenden Raumes. Neben dem Krümmungsbegriff und der Existenz spezieller Riemannscher Metrik spielen noch eine ganze Reihe weiterer interessanter Objekte eine große Rolle in der Differentialgeometrie. Hierzu zählen beispielsweise fast komplexe und komplexe Strukturen, Lagrange-Untermannigfaltigkeiten in der symplektischen Geometrie (diese wiederum sind in der geometrischen Optik und in Hamiltonschen dynamischen Systemen von Belang), Zusammenhänge auf Vektorraumbündeln, harmonische Abbildungen und harmonische Schnitte in Tensorbündeln, Lösungsräume partieller Differentialoperatoren, etc. Die meisten dieser Objekte besitzen einen engen Bezug zur theoretischen Physik, so zum Beispiel zur Stringtheorie. Daher bildet die Differentialgeometrie heute auch einen integralen Bestandteil der Ausbildung zum theoretischen Physiker.

Symplektische Geometrie

Eine Riemannsche Mannigfaltigkeit ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, die mit einer Riemannschen Metrik, also einer Struktur, die das Messen von Längen und Winkeln erlaubt, versehen ist. Das lineare Modell einer solchen Mannigfaltigkeit ist ein Vektorraum mit einem Skalarprodukt, d.h. einer positiv definiten symmetrischen Bilinearform. Dagegen ist eine symplektische Mannigfaltigkeit eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, auf der eine Struktur, genannt symplektische Struktur, zur Messung zweidimensionaler Volumina in Form einer nicht ausgearteten schief-symmetrischen Bilinearform gegeben ist. Die Untersuchung symplektischer Mannigfaltigkeiten hängt dabei sehr stark mit Fragestellungen der klassischen Mechanik zusammen. Insbesondere bilden die Zustandsräume in der Hamiltonschen Mechanik Beispiele für symplektische Mannigfaltigkeiten. Weitere Anwendungsgebiete der symplektischen Geometrie finden sich innerhalb der Physik zum Beispiel in der Quantenmechanik und der Optik. Symplektische Geometrie besitzt ebenfalls eine große inner-mathematische Bedeutung, so zum Beispiel in der Funktionentheorie, der algebraischen Geometrie und bei der Untersuchung von Modulräumen. Im Gegensatz zur Tatsache, dass jede Mannigfaltigkeit mit einer Riemannschen Metrik versehen werden kann, existieren Mannigfaltigkeiten, welche überhaupt keine symplektische Struktur zulassen. Zum Beispiel folgt aus der Existenz einer solchen Struktur, dass die Dimension der Mannigfaltigkeit gerade sein muss. Es ist bekannt, dass die 2n-dimensionalen Sphären keine symplektische Struktur tragen (außer für n=1). Das wirft die allgemeine Frage auf, welche Mannigfaltigkeiten eine symplektische Struktur besitzen. Andere aktuelle Forschungsgebiete behandeln die Frage, was es für Invarianten es in der symplektischen Geometrie gibt, durch die sich symplektische Mannigfaltigkeiten voneinander unterscheiden lassen. Auch an dieser Stelle tritt ein gravierender Unterschied zur Riemannschen Geometrie zu Tage. Während dort die verschiedenen Krümmungsbegriffe lokale Invarianten liefern, ist die einzige lokale Invariante einer symplektischen Mannigfaltigkeit deren Dimension. Hier meint ”lokal“, dass es sich um Größen handelt, deren Wert in einem Punkt der Mannigfaltigkeit nur von der Gestalt der Mannigfaltigkeit in einer (kleinen) Umgebung dieses Punktes abhängt. Ein möglicher Ansatz zur Konstruktion symplektischer Invarianten ist es, intrinsisch definierte Differentialoperatoren über einer symplektischen Mannigfaltigkeit und daraus abgeleitete Größen, wie z.B. deren Spektrum, zu nutzen. Ein wichtiges Beispiel solcher Differentialoperatoren bilden die symplektischen Dirac-Operatoren. Diese Operatoren sind analog zum Dirac-Operator in der Riemannschen Geometrie definiert, der in der Dirac-Gleichung eines freien Teilchens und deren Verallgemeinerungen auftritt.

Modulräume in Eichtheorien

Unter einer Eichtheorie versteht man eine Feldtheorie, deren Lagrange-Dichte sich nicht ändert, wenn eine bestimmte Größe lokal frei gewählt wird. Zu den Beispielen gehören der Elektromagnetismus, die Yang-Mills-Theorie und die Yang-Mills-Higgs-Theorie. Mathematisch werden die Eichtheorien auf Hauptfaserbündeln oder Vektorbündeln formuliert. Die Lösungen (die Minima der Wirkung) sind Zusammenhänge (kovariante Ableitungen), die bestimmte partielle Differentialgleichungen erfüllen. Der Raum der Lösungen ist unendlich-dimensional, aber nachdem man ihn durch die Gruppe der lokalen Symmetrien teilt, bekommt man oft eine endlich-dimensionale Mannigfaltigkeit, den sogenannten Modulraum. In der Yang-Mills-Theorie ist das der Modulraum der Instantonen, in der Yang-Mills-Higgs-Theorie der Modulraum der magnetischen Monopole. Diese endlich-dimensionalen Mannigfaltigkeiten besitzen oft eine sehr interessante Geometrie und sie bilden Beispiele für Mannigfaltigkeiten mit speziellen geometrischen Eigenschaften. Umgekehrt liefert die Differentialgeometrie der Modulräume neue Informationen über die Dynamik in der relevanten physikalischen Theorie.

Globale Flächentheorie

Wir betrachten hier Flächen im Raum, welche geometrische Variationsprobleme minimieren. Solche Flächen sind also je nach Problemstellung besonders rund, minimieren den Flächeninhalt unter vorgegebenen umschlossenem Volumen oder  treten als Trennflächen zwischen Gebieten mit unterschiedlichen Eigenschaften auf. Klassisch betrachtet man einfach eine Abbildung von einer offenen Menge im 2-dimensionalen euklidischen Raum in den 3-dimensionalen Raum, welche eine bestimmte Differentialgleichungen löst, beispielsweise verallgemeinerte Laplace-Gleichungen. Der Raum aller solcher Flächen ist typischerweise unendlich dimensional. Setzt man jedoch zusätzliche Bedingungen an die Fläche voraus (zum Beispiel vorgegebener Rand oder geschlossene Flächen ohne Rand), dann wird der Lösungsraum plötzlich sehr klein, meist diskret oder 1-dimensional. Damit hängt die Fläche nicht mehr nur von ihren lokalen Eigenschaften ab, wie sie sich also in einer kleinen Umgebung um einen Punkt verhält, sondern man betrachtet die globalen Eigenschaften der Fläche. Ein berühmtes Resultat ist der Satz von Alexandrov aus dem Jahre 1956: Jede geschlossene Fläche ohne Selbstdurchdringung im Raum, welche die Oberfläche minimiert unter der Nebenbedingung eines gegebenen eingeschlossenen Volumen ist eine runde Sphäre. Dies erklärt auch, warum es nur runde Seifenblasen gibt. Erlaubt man jedoch Selbstdurchdringungen, dann existieren unendlich viele weitere Beispiele, wie zuerst Wente 1985 zeigen konnte. Eine der überraschendsten Eigenschaften dieser Flächen ist es, dass sie durch spezielle Funktionen beschrieben werden können. Daher fanden komplexe Zahlen, holomorphe Funktionen und andere  Elemente der Funktionentheorie und deren Verallgemeinerung Einzug in die globale Flächentheorie. Ähnlich wie in der Zahlentheorie haben hier einfache Fragestellung häufig sehr schwierige Lösungen und benötigen eine Vielzahl an Methoden und Ideen aus der Analysis, algebraischen Geometrie, Topologie und theoretischer Physik. Gleichzeitig ist die Flächentheorie natürlich prädestiniert für die Visualisierung und Computerexperimente. Mögliche Themen für Bachelor- und Masterarbeiten: Minimalflächen, Willmore-Flächen, CMC-Flächen, quaternionische Flächentheorie und dessen Einsatz in der Computer-Graphik. Konforme Parametrisierungen von Flächen und Herstellung von Daten für den 3D-Druck.

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