• Zielgruppen
  • Suche
 

Lehrveranstaltungen am Institut für Differentialgeometrie

Auf dieser Seite finden Sie einige allgemeine Informationen zum regelmäßigen Lehrangebot des Instituts. Das aktuelle Angebot an Lehrveranstaltungen finden Sie auch im Vorlesungsverzeichnis der Fakultät für Mathematik und Physik.

 

 

 

 

Abschlussarbeiten

Sie möchten an unserem Institut ihre Abschlussarbeit schreiben? Hier ist ein kurzer Leitfaden wie sie vorgehen sollten.
Die vollständigen LaTeX-Dateien können sie ebenfalls herunterladen und nach Wunsch modifizieren.

Regelmäßig gehaltene Lehrveranstaltungen

Die folgende Liste ist als Orientierungshilfe für Studierende gedacht, die sich in der Differentialgeometrie spezialisieren möchten und/oder beabsichtigen, bei uns eine Abschlussarbeit zu schreiben (Bachelor/Master). Das Institut bietet in jedem Semester Lehrveranstaltungen an, welche den Einstieg in die Differentialgeometrie ermöglichen. Zusätzlich werden azyklisch Spezialvorlesungen zu verschiedenen Themen der Differentialgeometrie gehalten. Nachfolgend geben wir Empfehlungen für Einstiegsvorlesungen in Bachelor- bzw. Master-Studiengängen.

 


Mannigfaltigkeiten

Typ: 4-stündige Vorlesung mit 2-stündigen Übungen (Wahlpflicht Reine Mathematik / Geometrie)
Semester: Jährlich im Sommersemester
Zielgruppe: Studierende ab dem 4. Fachsemester der Studiengänge Bachelor Mathematik, Bachelor Physik
Konzept: Die Vorlesung bildet die Grundlage für alle weiterführenden Vorlesungen in der Differentialgeometrie. Sie kann aber auch im Anschluss an die Vorlesung Klassische Differentialgeometrie (siehe weiter unten) gehört werden.
Inhalte: In den Vorlesungen werden die wesentlichen Konzepte differenzierbarer Mannigfaltigkeiten behandelt. Hierzu zählen:

  • Topologische und differenzierbare Mannigfaltigkeiten, Mannigfaltigkeiten mit Rand
  • Tangentialräume, Kotangentialräume
  • Differenzierbare Abbildungen und das Differential einer Abbildung
  • Differenzierbare Untermannigfaltigkeiten
  • Vektorraumbündel
  • Vektorfelder und Flüsse von Vektorfeldern
  • Lie-Gruppen, -Algebren und -Ableitungen
  • Differentialformen, äußere Ableitung und de Rham-Kohomologie
  • Integralmannigfaltigkeiten und der Satz von Frobenius
  • Der Satz von Stokes für Mannigfaltigkeiten mit Rand und seine Korollare

Riemannsche Geometrie

Typ: 4-stündige Vorlesung mit 2-stündigen Übungen (Wahlpflicht Reine Mathematik / Geometrie)
Semester: Jährlich im Wintersemester
Zielgruppe: Studierende ab dem 5. Fachsemester der Studiengänge Bachelor Mathematik, Bachelor Physik bzw. Studierende ab dem 1. Fachsemester der Master-Studiengänge Mathematik oder Physik.
Konzept: Die Vorlesung bildet die natürliche Fortsetzung der Vorlesung Mannigfaltigkeiten, kann aber auch unabhängig von dieser gehört werden, sofern die wesentlichen Begriffe differenzierbarer Mannigfaltigkeiten bekannt sind. 
Inhalte: In den Vorlesungen werden die wichtigsten Themen der Riemannschen Geometrie behandelt. Hierzu zählen:

  • Riemannsche Metriken, Isometrien und konforme Abbildungen
  • Die Länge einer Kurve, Geodäten, Exponentialabbildung, Normalkoordinaten
  • Riemannsche Mannigfaltigkeiten als metrische Räume, vollständige Mannigfaltigkeiten und der Satz von Hopf-Rinow
  • Zusammenhänge, Parallelverschiebung
  • Riemannsche Krümmungstensoren, insbesondere des Levi-Civita-Zusammenhangs
  • Ricci- und Skalarkrümmung, Bianchi-Gleichungen, äußere Ableitung eines Zusammenhangs
  • Verhalten des Krümmungstensors unter konformen Transformationen
  • Erste und zweite Variation von Länge und Energie
  • Jacobi-Felder, Vergleichssätze
  • Zerlegungssatz von Hopf

Klassische Differentialgeometrie

    Typ: 4-stündige Vorlesung mit 2-stündigen Übungen (Wahlpflicht Reine Mathematik / Geometrie)
    Semester: Jährlich im Wintersemester
    Zielgruppe: Studierende ab dem 3. Fachsemester der Studiengänge Bachelor Mathematik, Bachelor Physik, Fächerübergreifender Bachelor 
    Konzept: Die Vorlesung bietet einen Einstieg in die Differentialgeometrie von Untermannigfaltigkeiten des euklidischen Raums, insbesondere in die Geometrie von Kurven und Flächen. Sie eignet sich ebenfalls für Lehramtsstudierende, die im Bereich der Differentialgeometrie eine Abschlussarbeit schreiben möchten. Vorausgesetzt werden lediglich Kenntnisse in Analysis 1,2 und Lineare Algebra 1. 
    Inhalte: In den Vorlesungen werden klassische Themen der Geometrie euklidischer Untermannigfaltigkeiten behandelt. Hierzu zählen:

    • Reguläre Untermannigfaltigkeiten
    • Der Satz vom regulären Wert
    • Lokale und globale Kurventheorie, rektifizierbare Kurven und die Länge von Kurven, Krümmung und Torsion von Kurven, isoperimetrische Ungleichung, Vierscheitel-Satz, der Satz von Fenchel, Umlaufwinkel und Umlaufsatz, Windungszahl
    • Erste und zweite Fundamentalform von Untermannigfaltigkeiten, mittlere Krümmung, Gauß-Kronecker-Krümmung, Minimalflächen
    • Gleichungen von Gauß, Ricci, Codazzi und Simons
    • Der Satz von Gauß-Bonnet

    Komplexe Differentialgeometrie

      Typ: 4-stündige Vorlesung mit 2-stündigen Übungen (Wahlpflicht Reine Mathematik / Geometrie)
      Semester: Jährlich im Sommersemester (jedoch nicht im Sommersemester 2018)
      Zielgruppe: Studierende ab dem 4. Fachsemester der Studiengänge Bachelor Mathematik, Bachelor Physik bzw. Studierende ab dem 1. Fachsemester der Master-Studiengänge Mathematik oder Physik.
      Konzept: Die Vorlesung gibt eine Einführung in die Geometrie von komplexen und fast komplexen Mannigfaltigkeiten, insbesondere in die Kähler-Geometrie und die Geometrie von Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten. Es bietet sich an, die Vorlesung im Anschluss an die Vorlesung Riemannsche Geometrie zu hören. 
      Inhalte: In den Vorlesungen werden die wichtigsten Themen fast Hermitescher Mannigfaltigkeiten behandelt. Hierzu zählen:

      • Fast komplexe Strukturen
      • Das komplexifizierte Tangentialbündel
      • Komplexe Mannigfaltigkeiten, der Nijenhuis-Tensor und der Satz von Newlander-Nirenberg
      • Fast Hermitesche Mannigfaltigkeiten
      • Klassifikation fast Hermitescher Mannigfaltigkeiten nach Gray-Hervella 
      • Kähler-Mannigfaltigkeiten
      • Der Krümmungstensor einer Kähler-Mannigfaltigkeit
      • Chern-Klassen, -Formen und -Zahlen
      • Calabi-Yau Mannigfaltigkeiten
      • Dolbeault-Kohomologie
      • Hodge-Zerlegung und Hodge-Zahlen

      Geometrie für das Lehramt

        Typ: 4-stündige Vorlesung mit 2-stündigen Übungen (Pflichtvorlesung für den Studiengang Fächerübergreifender Bachelor Mathematik)
        Semester: Jährlich im Sommersemester
        Zielgruppe: Studierende im 4. Fachsemester des Studiengangs Fächerübergreifender Bachelor.
        Konzept: Die Vorlesung gibt eine Einführung in die elementare Geometrie der euklidischen Ebene, insbesondere in die Geometrie des Schulunterrichts.
        Inhalte: In den Vorlesungen werden die wichtigsten Themen der Schulgeometrie vom höheren Standpunkt behandelt. Hierzu zählen:

        • Inzidenzebenen
        • Anordnungsebenen: Seiten einer Geraden, der Satz von Pasch
        • Hilbertebenen: Kongruenzsätze für Dreiecke, Existenz einer Parallelen
        • Absolute Geometrien
        • Euklidische Ebene: Stufen- und Wechselwinkelsätze, Winkelsummensatz, die Satzgruppe des Pythagoras, Strahlen- und Schließungssätze, Sätze über Dreieckstransversalen, Sätze über Kreise
        • Kegelschnitte: Ellipsen, Parabeln, Hyperbeln
        • Euklidische Werkzeuge, kollabierende und nicht-kollabierende Zirkel, Konstruktionen mit Zirkel und Lineal, die Sätze von Euklid und Mohr-Mascheroni