Geometrische Evolutionsgleichungen
Geometrische Evolutionsgleichungen bilden ein sehr junges und wichtiges Forschungsfeld innerhalb der Differentialgeometrie. Sie bieten ein überaus wertvolles analytisches Werkzeug, um Existenzen und Eigenschaften geometrischer Objekte zu studieren. Zu fast jeder geometrischen Struktur wurde in der Vergangenheit eine entsprechende geometrische Evolutionsgleichung entworfen. Einige von diesen Flüssen sind prominenter als andere. Zu den bedeutendsten und am besten untersuchten Vertretern gehören: Ricci-Fluss (Riemannsche Metriken), mittlerer Krümmungsfluss (Immersionen), harmonischer Wärmefluss (Abbildungen) und der Yang-Mills-Fluss (Zusammenhänge). Von diesen Flüssen gibt es wiederum interessante Varianten und Spezialfälle, so zum Beispiel der Kähler-Ricci-Fluss, der Sasaki-Ricci-Fluss und der Lagrangesche mittlere Krümmungsfluss. Mit Arbeiten zum Ricci-Fluss wurde 2002 durch Grigori Perelman die Poincaré-Vermutung bewiesen.
Mittlerer Krümmungsfluss in hohen Kodimensionen
Der mittlere Krümmungsfluss ist der negative Gradientenfluss zum Volumenfunktional auf der Menge aller Immersionen in eine gegebene Riemannsche Mannigfaltigkeit. Damit lässt sich der mittlere Krümmungsfluss auch als Wärmeleitungsgleichung auf der Menge aller Immersionen auffassen. Diese geometrische Evolutionsgleichung liefert wichtige Erkenntnisse über die möglichen Geometrien von Untermannigfaltigkeiten in Riemannschen Mannigfaltigkeiten. Innerhalb dieser allgemeinen Theorie gibt es wiederum zahlreiche Spezialfälle, welchen eine besondere Bedeutung zukommt. Am Institut werden besonders Projekte in höheren Kodimensionen untersucht.
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Solitonen in hohen Kodimensionen
Solitonen entstehen, wenn sich unter dem mittleren Krümmungsfluss Singularitäten bilden oder wenn Langzeitexistenz der Lösung vorliegt, aber die Immersionen nicht unbedingt gegen eine minimale Untermannigfaltigkeit konvergieren. Die wichtigsten Vertreter sind: Selbstähnliche kontrahierende und expandierende Lösungen sowie translatierende Solitonen.
Lagrangescher mittlerer Krümmungsfluss
Lagrange-Untermannigfaltigkeiten sind die prominentesten Vertreter von Untermannigfaltigkeiten in der symplektischen Geometrie. Eine Untermannigfaltigkeit L in einer symplektischen Mannigfaltigkeit (M,ω) nennt man Lagrange, wenn die symplektische Form ω auf L verschwindet und die Dimension von L genau halb so groß ist wie die von M. Betrachtet man den mittleren Krümmungsfluss in Kähler-Mannigfaltigkeiten M, so wird die Lagrange-Bedingung nur erhalten, falls M Kähler-Einstein ist. Insbesondere ist dies in Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten der Fall. Einige der folgenden Projekte wurden im Rahmen des Schwerpunktprogramms SPP 2026, Geometry at Infinity, von der DFG gefördert.
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Vermutungen von Strominger-Yau-Zaslow und Thomas-Yau
Nach einer Arbeit von Strominger, Yau und Zaslow steht der Modulraum minimaler Lagrange-Tori in Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten M in direktem Bezug zur Spiegel-Mannigfaltigkeit von M. Aus diesem Grund ist der mittlere Krümmungsfluss ein wichtiges Werkzeug beim Verständnis dieser Verbindung. Wichtige Fragen in diesem Zusammenhang sind die Existenz minimaler Lagrange-Tori und die Kompaktheit des Modulraums. Insbesondere hierzu sowie im Zusammenhang mit der Thomas-Yau-Vermutung müssen auftretende Singularitäten beim mittleren Krümmungsfluss von Lagrange-Untermannigfaltigkeiten noch besser verstanden werden.
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Equivarianter Lagrangescher mittlerer Krümmungsfluss
Ist z=(u,v) eine reguläre Kurve in R² und bezeichnet S die Standardeinbettung der (m-1)-dimensionalen Einheitssphäre, so wird F(s,x):=(u(s)S(x),v(s)S(x)) zu einer m-dimensionalen Lagrange-Immersion. Diese ist invariant unter der Isometriegruppe O(m), Lagrange-Untermannigfaltigkeiten diesen Typs nennt man equivariant. Die Whitney-Sphäre (siehe Bild auf der linken Seite) ist das bekannteste Beispiel einer equivarianten Lagrange-Untermannigfaltigkeit. Der mittlere Krümmungsfluss für equivariante Untermannigfaltigkeiten lässt sich komplett durch die Evolution der erzeugenden Profilkurven z beschreiben. Singularitäten für diesen Spezialfall sind inzwischen sehr gut verstanden, dennoch bleiben wichtige offene Fragen. Zum Beispiel ist die Natur der Singularität in den Fällen, wo sie im Ursprung entsteht, noch nicht ganz geklärt.
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Typ-I und Typ-II-Singularitäten
Beim mittleren Krümmungsfluss unterscheidet man generell zwischen zwei möglichen Typen von Singularitäten, genannt Typ-I bzw. Typ-II. Die Singularitäten des ersten Typs erzeugen selbstähnlich schrumpfende Lösungen und treten beim Lagrangeschen mittleren Krümmungsfluss nicht auf, wenn die Maslov-Klasse trivial ist. Eine Singularität vom Typ-II erzeugt andererseits eine sogenannte eternal solution. Zu dieser Klasse gehören insbesondere die translatierenden Lösungen wie der grim reaper. Die Modulräume der Singularitäten vom Typ-I bzw. Typ-II sind nur sehr unzureichend verstanden. Man weiß zum Beispiel nicht, unter welchen Bedingungen Singularitäten vom Typ-II automatisch zu translatierenden Lösungen führen (Anm.: Für konvexe Hyperflächen gibt es hierzu ein Resultat von Richard Hamilton).
Mittlerer Krümmungsfluss von Graphen
Der mittlere Krümmungsfluss lässt sich für Graphen einer Abbildung f anwenden, da sich der Fluss bis auf Diffeomorphismen eindeutig durch die Evolution der den Graphen erzeugenden Abbildung f beschreiben lässt. In diesem Zusammenhang offenbart die Evolutionsgleichung erstaunliche Ähnlichkeiten mit dem harmonischen Wärmefluss. Die folgenden Spezialfälle sind von besonderem Interesse
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Abbildungen zwischen Riemannschen Mannigfaltigkeiten
Eine Abbildung f zwischen Riemannschen Mannigfaltigkeiten (M,g), (N,h) heißt minimal, falls der Graph Γ von f bezüglich der Produktmetrik auf M×N eine minimale Untermannigfaltigkeit ist. Mit dem Fluss kann daher die Existenz von minimalen Abbildungen zwischen Riemannschen Mannigfaltigkeiten besser verstanden werden. Unter geeigneten Annahmen an die Riemannschen Krümmungen von M und N wurden in jüngster Zeit wesentliche Ergebnisse sowohl für die Klasse der Kontraktionen als auch für die Klasse der flächenkontrahierenden Abbildungen erzielt.
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Deformation von Symplektomorphismen
Ist f ein Symplektomorphismus zwischen Kähler-Einstein-Mannigfaltigkeiten derselben Skalarkrümmung, so erhält der mittlere Krümmungsfluss diese Eigenschaft. Dies liefert einen weiteren Spezialfall des Lagrangeschen mittleren Krümmungsflusses. Für Symplektomorphismen zwischen Riemannschen Flächen wurde der Fluss bereits sehr gut untersucht, in höheren Dimensionen gibt es jedoch sehr viele offene Fragen. Zum Beispiel möchte man gerne klären, unter welchen Bedingungen sich Symplektomorphismen in Biholomorphismen deformieren lassen.
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Graphen im Kotangentialbündel
Eine 1-Form θ auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit M erzeugt einen Graphen im Kotangentialbündel von M und dieser Graph wird genau dann Lagrange, wenn θ geschlossen ist. Weil das Kotangentialbündel im Allgemeinen keine Kähler-Einstein-Mannigfaltigkeit ist, wird der mittlere Krümmungsfluss daher in diesen Fällen die Lagrange-Bedingung nicht erhalten. Durch geeignete Modifikationen der Flussgleichung ist es aber gelungen, einen Fluss zu erzeugen, welcher die Geschlossenheit der Formen θ nicht zerstört. Bisher existieren für diesen modifizierten mittleren Krümmungsfluss sehr gute Ergebnisse für Kotangentialbündel von Riemannschen Mannigfaltigkeiten positiver Krümmung. Interessant wird dies auch im Kontext einer Variante der Arnol'd-Vermutung.
Sasaki-Ricci-Fluss
Der Sasaki-Ricci-Fluss ist die Sasaki-Variante des Ricci-Flusses. Da der Ricci-Fluss die Sasaki-Bedingung einer Riemannschen Metrik auf einer Kontaktmannigfaltigkeit selbst nicht erhält, benötigt man eine Variante hiervon, welche die Kontaktmetrik nur auf der Kontaktdistribution ändert. Genau dies leistet der Sasaki-Ricci-Fluss.
Twistortheorie
Die Twistor-Theorie versucht im Wesentlichen, die grundlegenden mathematischen Eigenschaften der Relativitätstheorie und der Quantenmechanik zusammenzuführen. Die Grundlagen der Twistor-Theorie wurden vom britischen Mathematiker und Physiker Roger Penrose entwickelt. Mehrere wichtige geometrische Strukturen können über ihren Twistorraum konstruiert und untersucht werden, das heißt als Parameterraum von (reellen) rationalen Kurven in einer komplexen Mannigfaltigkeit. Natürlich auftretende Beispiele dieser Geometrien, welche Hyperkähler-Metriken enthalten, sind in mehreren Zweigen der Mathematik und der mathematischen Physik von großer Bedeutung: zum Beispiel Köcher-Varietäten in der Darstellungstheorie, Hitchins Modulräume in der algebraischen Geometrie und der Theorie integrabler Systeme, eichtheoretische Modulräume von Monopolen und Instantonen in der mathematischen Physik.
Deligne-Hitchin-Modulraum und Higgsbündel
Der Modulraum der Lösungen der Hitchin-Gleichungen ist eine hyper-Kähler Mannigfaltigkeit, deren komplexe Strukturen den Modulraum der Higgsbündel beziehungsweise der flachen Zusammenhänge liefern. Der zugehörige Twistorraum kann nach Deligne als Modulraum der λ-Zusammenhänge aufgefasst werden, wobei Twistorlinien den assoziierten Familien von Lösungen der Hitchin-Gleichungen entsprechen. Dieser Modulraum kann komplex analytisch konstruiert werden, und beinhaltet neben den Twistorlinien weitere interessante Klassen von holomorphen Kurven, welche typischerweise Lösungen spezieller integrabeler Differentialgleichungen entsprechen. Dieses Projekt wird von der DFG im Rahmen des Schwerpunktprogramms SPP 2026, Geometry at Infinity, gefördert.
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Geometrische Strukturen des Deligne-Hitchin-Modulraums
In diesem Projekt beschäftigen wir uns mit Konstruktionen und Interpretationen von hyperholomorphen Bündeln und Zusammenhängen, Automorphismengruppen, sowie Branen in der Spiegelsymmetrie.
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Neue Klassen reell holomorpher Kurven im Twistorraum
Klassen reell holomorpher Kurven im Twistorraum liefern etwa singuläre Lösungen der Hitchin-Gleichungen oder Minimalflächen in Anti-deSitter Räumen. Geometrische Größen wie die renormalisierte Energie oder der Flächeninhalt können durch Auswertung von hyperholomorphen Daten bestimmt werden.
